几种排序算法的比较

整个十一假期就在折腾这几个算法,这篇总结性文章就是简要的介绍了几个基础算法的特性,并附带了 Python 的实现。
不同算法适合不同情况的数组,但在不知道输入规律的时候,使用时间复杂度低算法的比较保险。
Big O:上界
Big Ω:下界
Big Θ:确界

Big O 比较

big_o_complexity
O(n²):冒泡排序(稳定)/选择排序(不稳定)/插入排序(稳定)
O(nlgn)~O(n²):希尔排序(不稳定)
O(nlgn):堆排序(不稳定)/归并排序(稳定)/快速排序(不稳定)

Bubble Sort 冒泡排序

def bubble_sort(arry):
    n = len(arry)                   #获得数组的长度
    for i in range(n):
        for j in range(1,n-i):
            if  arry[j-1] > arry[j] :       #如果前者比后者大
                arry[j-1],arry[j] = arry[j],arry[j-1]      #则交换两者
    return arry

时间复杂度、稳定性

平均情况:O(n²)
最坏情况:O(n²)
最好情况:O(n)
稳定
辅助空间O(1)

特点

最优情况为全部正序时经过 n-1 次比较即可完成排序,最差情况是倒序。因此冒泡算法对数组的有序性很敏感,适合对规模较小、且比较有序的数据进行排序。[1]

优化方案

  1. 如果某一次遍历没有发生数据交换,则代表已完成排序,可停止迭代。
  2. 记录遍历时最后一次数据交换的位置,后面的数据已经有序,因此可以缩小下次循环的范围。

Selection Sort 选择排序

def select_sort(ary):
    n = len(ary)
    for i in range(0,n):
        min = i                             #最小元素下标标记
        for j in range(i+1,n):
            if ary[j] < ary[min] :
                min = j                     #找到最小值的下标
        ary[min],ary[i] = ary[i],ary[min]   #交换两者
    return ary

时间复杂度、稳定性

平均情况:O(n²)
最坏情况:O(n²)
最好情况:O(n²)
不稳定
辅助空间O(1)

特点

运行时间与输入状态无关(随机排列与正序排列消耗相同的时间)。同时移动次数最少(与数组大小呈线性关系)。[1]

Insertion Sort 插入排序

def insert_sort(ary):
    n = len(ary)
    for i in range(1,n):
        if ary[i] < ary[i-1]:
            temp = ary[i]
            index = i           #待插入的下标
            for j in range(i-1,-1,-1):  #从i-1 循环到 0 (包括0)
                if ary[j] > temp :
                    ary[j+1] = ary[j]
                    index = j   #记录待插入下标
                else :
                    break
            ary[index] = temp
    return ary

时间复杂度、稳定性

平均情况:O(n²)
最坏情况:O(n²)
最好情况:O(n)
稳定
辅助空间:O(1)

特点

输入状态会影响运行效率,对有序数组排序要比对随机排列、逆序排列的数组快,因此适用于部分有序的非随机数组。当『数组中每个元素距离它的最终位置都不愿』『一个有序的大数组接一个小数组』『数组中只有几个元素的位置不正确』时,插入算法的速度很可能比其他算法都快。[2]

Shell Sort 希尔排序

def shell_sort(ary):
    n = len(ary)
    gap = round(n/2)       #初始步长 , 用round四舍五入取整
    while gap > 0 :
        for i in range(gap,n):        #每一列进行插入排序 , 从gap 到 n-1
            temp = ary[i]
            j = i
            while ( j >= gap and ary[j-gap] > temp ):    #插入排序
                ary[j] = ary[j-gap]
                j = j - gap
            ary[j] = temp
        gap = round(gap/2)                     #重新设置步长
    return ary

时间复杂度、稳定性

平均情况:O(nlgn)~O(n²)
最坏情况:O(n²)
最好情况:O(n1.3)
不稳定
辅助空间:O(1)

特点

希尔排序将数组分成较短的子数组、并使之部分有序,很适合插入排序。希尔排序对中等大小数组的排序时间可以接受,代码量小,且不需要额外内存空间。当没有系统排序函数可用时,可以考虑先用希尔排序,再考虑是否值得替换为更复杂的排序算法。[3]

Merge Sort 归并排序

def merge_sort(ary):
    if len(ary) <= 1 : return ary
    num = int(len(ary)/2)       #二分分解
    left = merge_sort(ary[:num])
    right = merge_sort(ary[num:])
    return merge(left,right)    #合并数组
def merge(left,right):
    '''合并操作,
    将两个有序数组left[]和right[]合并成一个大的有序数组'''
    l,r = 0,0           #left与right数组的下标指针
    result = []
    while l<len(left) and r<len(right) :
        if left[l] < right[r]:
            result.append(left[l])
            l += 1
        else:
            result.append(right[r])
            r += 1
    result += left[l:]
    result += right[r:]
    return result

时间复杂度、稳定性

平均情况:O(nlgn)
最坏情况:O(nlgn)
最好情况:O(nlgn)
稳定
辅助空间:O(n)

特点

归并排序在最坏的情况下复杂度为O(nlgn),和其他基于比较的排序算法所需的最小比较次数相同。

Quick Sort 快速排序

用递归在 Python 中实现快速排序会遇到 RuntimeError: maximum recursion depth exceeded 的错误提示,原因是 Python 的递归深度默认为1000(可以用 sys.getrecursionlimit() 来查看),有两种方式解决为题。一种是用循环重写算法,另一种比较简单粗暴,直接用 sys.setrecursionlimit(99999) 把递归深度设置为 99999 这种大数字,更详细可参见这里

def quick_sort(ary):
    return qsort(ary,0,len(ary)-1)
def qsort(ary,left,right):
    #快排函数,ary为待排序数组,left为待排序的左边界,right为右边界
    if left >= right : return ary
    key = ary[left]     #取最左边的为基准数
    lp = left           #左指针
    rp = right          #右指针
    while lp < rp :
        while ary[rp] >= key and lp < rp :
            rp -= 1
        while ary[lp] <= key and lp < rp :
            lp += 1
        ary[lp],ary[rp] = ary[rp],ary[lp]
    ary[left],ary[lp] = ary[lp],ary[left]
    qsort(ary,left,lp-1)
    qsort(ary,rp+1,right)
    return ary

时间复杂度、稳定性

平均情况:O(nlgn)
最坏情况:O(n²)
最好情况:O(nlgn)
不稳定
辅助空间:O(nlgn)~O(n)

特点

在实际应用中,一般比其他算法快很多,内循环很小,原地排序(仅需要很小的辅助栈),且将长度为 N 的数组排序的时间与 NlgN 成正比。但很脆弱,实际性能会因某些错误变成平方级。[4]
快速排序和归并排序使用分治法和递归进行排序,但快排在合并子数组后是自然有序的大数组;归并在合并阶段则繁琐一些,还要再次进行比较。
在对数组进行切分不平衡时,会导致性能低效(例如第一次从最小元素切分、第二次从第二小的元素切分……)。解决该问题,可以对数组进行随机排序,避免性能下降到极低。

优化

  1. 快排在小数组中比插入排序慢,因此在排序小数组时使用插入排序。
  2. 三取样切分。
  3. 熵最优排序[5]

以上三种优化是《Algorithms 4th》中对于快排性能的优化,都是对算法本身做了一些改进。而最著名的优化则是《算法导论》中提到的『随机化快速排序』,与上述三种性能优化有很大不同。
随机化快速排序,一般来说都是将取主元的过程随机化。随机化快速排序的『优化』,并没有提高快排的性能,而是避免了某些序列使快排性能大幅降低到O(n²)的可能性、防止他人设计一个序列对服务器发起DoS攻击,使排序更加稳定和安全(我发现还有很多人有类似的误解)。事实上随机化快速排序和普通快速排序在时间复杂度上同为O(nlgn),实际实验中也没有显著差异。

知乎上一个用户对快排和随机快排的性能做了测试,但我猜他可能也理解错了,他所做的只是在优化随机快排的代码,但并没有显著提高算法性能或降低复杂度(知乎链接)。Thomas Cormen 在 Quora 中也回答了关于随机化快排和普通快排性能差异的问题(Quora链接),但是他本人在《算法导论》(中文版100页,英文版179页)中并没有把这个问题讲的很透彻,也许算是一个微小的失误。

Heap Sort 堆排序

def heap_sort(ary) :
    n = len(ary)
    first = int(n/2-1)       #最后一个非叶子节点
    for start in range(first,-1,-1) :     #构造大根堆
        max_heapify(ary,start,n-1)
    for end in range(n-1,0,-1):           #堆排,将大根堆转换成有序数组
        ary[end],ary[0] = ary[0],ary[end]
        max_heapify(ary,0,end-1)
    return ary
#最大堆调整:将堆的末端子节点作调整,使得子节点永远小于父节点
#start为当前需要调整最大堆的位置,end为调整边界
def max_heapify(ary,start,end):
    root = start
    while True :
        child = root*2 +1               #调整节点的子节点
        if child > end : break
        if child+1 <= end and ary[child] < ary[child+1] :
            child = child+1             #取较大的子节点
        if ary[root] < ary[child] :     #较大的子节点成为父节点
            ary[root],ary[child] = ary[child],ary[root]     #交换
            root = child
        else :
            break

时间复杂度、稳定性

平均情况:O(nlgn)
最坏情况:O(nlgn)
最好情况:O(nlgn)
不稳定
辅助空间:O(1)
2. 特点
目前唯一的能最优利用时间与空间的算法,最坏情况下也能保证 2NlgN 次比较和恒定的辅助空间。当空间紧张时(例如嵌入式),堆排序用几行代码就能实现实现较好性能。
缺点是无法利用缓存,缓存未命中的次数远高于大多数在相邻元素间比较的算法。
sort

通过倍率实验预测程序的增长数量级

可以使用倍率实验来预测任意程序的增长数量级:
每次实验时使输入翻倍,计算时间,并求两次运行时间的比值。反复运行直到比值趋近于2的b次方。[6]

算法的『稳定性』是什么

稳定性指,当排序的元素中有相同的值时,这些具有相同值的元素在排序后的前后位置是否发生变化的性质。如果变化,则不稳定;如果不变化,则稳定。在 Bubble Sort 中,相邻元素互相交换,如果两个相邻元素相等则不需交换;如果两个相等的元素彼此之间有间隔,那么即便它们和相邻元素交换后,其相对的前后位置也不会发生变化,所以是稳定的。而在 Selection Sort 中,第一个元素与最小的元素交换、第二个元素与第二小元素交换等等,间隔有可能很大从而在交换时跳过了相同值的元素,进而造成相同值元素前后位置改变,因此是不稳定的。
排序的键值有可能只是元素的一个属性,如果元素本身还具有其他属性,那么键值相同的元素排序后的相对顺序还与其他属性有关。例如用稳定的算法对员工按工资排序,假如原数组是按年龄排序的,那么月薪同为7000元的3个人在按工资排序后仍然可以保持年龄正序,即最初的相对位置不变。

参考资料:

[1]《Algorithms 4th》 P248
[2]《Algorithms 4th》 P252
[3]《Algorithms 4th》 P262
[4]《Algorithms 4th》 P288
[5]《Algorithms 4th》 P296
[6]《Algorithms 4th》 P121

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